Tujuan Pembelajaran
Peserta didik
diharapkan mampu memahami konsep matriks, menyajikan data dalam bentuk matriks, serta
mengidentifikasi ordo dan berbagai jenis matriks dengan tepat.
Apa itu Matriks?
Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom
sehingga membentuk suatu bangun persegi atau persegi panjang. Bilangan-bilangan yang
menyusun matriks disebut elemen-elemen matriks.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{bmatrix} $$
Ordo Matriks: Ordo menyatakan ukuran dari sebuah matriks yang dituliskan sebagai
\( m \times n \), dimana \(m\) adalah jumlah baris dan \(n\) adalah jumlah kolom. Contoh
matriks \(A\) di atas memiliki ordo \( 2 \times 3 \).
Jenis-jenis Matriks
- Matriks Baris: Matriks yang hanya terdiri dari 1 baris. Contoh: \(
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} \)
- Matriks Kolom: Matriks yang hanya terdiri dari 1 kolom. Contoh: \(
\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \)
- Matriks Persegi: Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama (\( n
\times n \)).
- Matriks Identitas (I): Matriks persegi yang elemen diagonal
utamanya adalah 1, dan elemen lainnya 0. Contoh: \( I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 &
1 \end{bmatrix} \)
Tujuan Pembelajaran
Peserta didik
diharapkan mampu menerapkan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar pada
matriks, serta mahir melakukan operasi perkalian antara dua matriks yang sesuai dengan
aturannya.
1. Penjumlahan & Pengurangan Matriks
Syarat utama agar dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah harus memiliki
ordo yang sama. Cara menjumlahkan atau mengurangkannya adalah dengan
mengoperasikan elemen-elemen yang seletak.
$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} e & f \\ g & h
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \pm e & b \pm f \\ c \pm g & d \pm h \end{bmatrix} $$
2. Perkalian Matriks dengan Skalar
Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real (skalar). Caranya adalah kalikan
setiap elemen matriks dengan skalar \(k\) tersebut.
$$ k \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k \cdot a & k \cdot
b \\ k \cdot c & k \cdot d \end{bmatrix} $$
3. Perkalian Dua Matriks
Dua matriks dapat dikalikan (Matriks A \(\times\) Matriks B) jika banyak kolom matriks
A sama dengan banyak baris matriks B. Aturan kalinya adalah baris dikalikan
dengan kolom.
$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (ae+bg) & (af+bh) \\ (ce+dg) & (cf+dh) \end{bmatrix} $$
Tujuan Pembelajaran
Peserta didik
diharapkan mampu menghitung determinan matriks persegi berordo 2x2, menentukan invers
matriks, dan menggunakannya untuk memecahkan berbagai masalah.
Determinan Matriks \(2 \times 2\)
Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari selisih perkalian elemen diagonal utama
dengan diagonal sekunder matriks persegi. Jika diketahui:
$$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$
Maka determinan A (ditulis \(|A|\) atau \(\text{det}(A)\)) adalah:
$$ \text{det}(A) = a \cdot d - b \cdot c $$
Invers Matriks \(2 \times 2\)
Invers matriks adalah kebalikan (invers) dari sebuah matriks yang apabila matriks
tersebut dikalikan dengan inversnya, akan menghasilkan matriks identitas. Matriks obyek
hanya memiliki invers jika determinannya tidak nol (\(|A| \neq 0\)).
$$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} =
\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$
Tujuan Pembelajaran
Peserta didik
diharapkan mampu menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) menggunakan matriks, baik
melalui metode invers matriks maupun Aturan Cramer.
Penyelesaian SPL dengan Matriks
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV):
$$ \begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} $$
Dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks \(AX = B\):
$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix} $$
1. Metode Invers Matriks
Jika \(AX = B\), maka untuk mencari nilai \(x\) dan \(y\) pada matriks \(X\), kita dapat
mengalikan kedua ruas dengan \(A^{-1}\):
$$ X = A^{-1} \cdot B $$
Dimana \( A^{-1} \) adalah invers dari matriks koefisien.
2. Aturan Cramer
Aturan Cramer menggunakan determinan untuk mencari nilai variabel. Jika \(|A|\) (atau
\(D\)) adalah determinan matriks koefisien:
$$ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D} $$
- \(D\): Determinan matriks koefisien \(\begin{bmatrix} a & b \\ c &
d \end{bmatrix}\)
- \(D_x\): Determinan dengan kolom x diganti hasil \(B\) menjadi
\(\begin{bmatrix} e & b \\ f & d \end{bmatrix}\)
- \(D_y\): Determinan dengan kolom y diganti hasil \(B\) menjadi
\(\begin{bmatrix} a & e \\ c & f \end{bmatrix}\)
Tujuan Pembelajaran
Peserta didik
diharapkan mampu menerapkan konsep operasi matriks pada transformasi geometri
(Translasi,
Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi) serta mengetahui beberapa penerapan matriks lainnya.
Transformasi Geometri dengan Matriks
Setiap titik \((x, y)\) yang mengalami transformasi geometri terhadap pusat asal
\((0,0)\) dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks transformasi \(T\) dengan matriks
posisi titik mula-mula.
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
Matriks Transformasi (T)
- Translasi (Pergeseran): Dinyatakan sebagai penjumlahan matriks \(
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \)
- Refleksi (Pencerminan):
• Terhadap sumbu X: \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)
• Terhadap sumbu Y: \( \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
- Rotasi (Perputaran): Sebesar sudut \(\theta\) (berlawanan arah
jarum jam).
\( T = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix} \)
- Dilatasi (Perkalian Skala): Dengan faktor skala \(k\).
\( T = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \)
Penerapan Matriks di Bidang Lain
Selain digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan dan geometri, matriks sering
digunakan pada:
- Kriptografi: Matriks sering digunakan untuk menyandikan (enkripsi)
dan memecahkan sandi (dekripsi) sebuah pesan rahasia, menggunakan sifat invers
matriks.
- Ekonomi & Bisnis: Berguna dalam merepresentasikan tabel data
penjualan atau stok barang antar cabang sehingga mudah dioperasikan.
- Grafika Komputer: Animasi tiga dimensi (3D) maupun dua dimensi (2D)
sepenuhnya bergantung pada matriks translasi dan rotasi agar objek dapat dirender
dan digerakkan secara halus pada layar.